Шар пересечён плоскостью на расстоянии 4 от центра. Найдите радиус сечения, если радиус шара равен 5.

Для решения задачи представим, что шар имеет радиус 5, и плоскость пересекает его на расстоянии 4 единиц от центра. Задача — найти радиус сечения шара.

1. Шар можно представить как трёхмерное тело с центром в некоторой точке и радиусом 5. Если провести плоскость на расстоянии 4 единиц от центра шара, то линия пересечения плоскости и шара будет окружностью.

2. Чтобы найти радиус этой окружности, воспользуемся теоремой о взаимном расположении прямой и сферы. Рассмотрим прямой угол, образованный радиусом шара, радиусом сечения и расстоянием от центра шара до плоскости.

3. В этом случае получится прямоугольный треугольник, в котором:

   • гипотенуза — радиус шара, то есть 5,

   • один катет — расстояние от центра до плоскости, то есть 4,

   • второй катет — радиус сечения, который нам нужно найти.

4. Используя теорему Пифагора, можем записать уравнение:

   $$5^2 = 4^2 + r^2$$

   где $r$ — радиус сечения.

5. Подставим значения и решим уравнение:

   $$25 = 16 + r^2$$ $$r^2 = 25 - 16 = 9$$ $$r = \sqrt{9} = 3$$

Ответ: радиус сечения шара равен 3.