Упростите ctg² β (cos² β - 1) + 1

Для упрощения выражения $\ctg^2 \beta (\cos^2 \beta - 1) + 1$, давайте пройдем несколько шагов:

1. Используем тригонометрическую идентичность:
   Заметим, что $\cos^2 \beta - 1 = -\sin^2 \beta$. Это стандартная тригонометрическая идентичность $\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1$, которая позволяет переписать $\cos^2 \beta - 1$ как $-\sin^2 \beta$.

   Подставляем в исходное выражение:

   $$\ctg^2 \beta (-\sin^2 \beta) + 1$$

2. Используем определение $\ctg \beta$:
   Напоминаем, что $\ctg \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$, поэтому $\ctg^2 \beta = \frac{\cos^2 \beta}{\sin^2 \beta}$.

   Подставляем это в выражение:

   $$\frac{\cos^2 \beta}{\sin^2 \beta} (-\sin^2 \beta) + 1$$

3. Упрощаем:
   После того как мы подставили $\ctg^2 \beta$, $\sin^2 \beta$ в числителе и знаменателе сокращаются:

   $$-\cos^2 \beta + 1$$

4. Финальное выражение:
   Это выражение можно записать как $1 - \cos^2 \beta$. Это снова стандартная тригонометрическая идентичность, $1 - \cos^2 \beta = \sin^2 \beta$.

   Таким образом, окончательно получаем:

   $$\sin^2 \beta$$

Ответ: $\sin^2 \beta$.