решите уравнение х3+6х2+11х+6=0

Чтобы решить уравнение $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$, воспользуемся методом нахождения корней с помощью теоремы о рациональных корнях.

1. Ищем возможные рациональные корни:
   Для этого нужно найти делители свободного члена (в данном случае 6) и делители старшего коэффициента (коэффициента при $x^3$, который равен 1). Свободный член — это 6, а старший коэффициент — 1.

   Делители числа 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

   Делители числа 1: $\pm 1$.

   Следовательно, возможные рациональные корни — это $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

2. Пробуем подставлять возможные корни в уравнение.

   Начнем с $x = -1$:

   $$(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0.$$

   Получается, что $x = -1$ — корень уравнения.

3. Делим исходное уравнение на $x + 1$:
   Так как $x = -1$ — корень, то можно разделить исходное уравнение $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ на $x + 1$ с использованием деления многочленов.

   Выполнив деление, получаем:

   $$x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1)(x^2 + 5x + 6).$$

4. Решаем квадратное уравнение:
   Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 5x + 6 = 0$.

   Для решения используем формулу дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1.$$

   Дискриминант положительный, значит, у уравнения два корня.

   Находим корни по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 \pm 1}{2}.$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3.$$

5. Итак, все корни уравнения:
   Решения уравнения $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$ — это $x = -1, x = -2, x = -3$.