Система уравнений: mn(m+n)=30, m³ + n³ =35

Рассмотрим систему уравнений:

1. $mn(m + n) = 30$

2. $m^3 + n^3 = 35$

Мы начнём с того, что воспользуемся формулой для суммы кубов:

Из второго уравнения знаем, что $m^3 + n^3 = 35$, следовательно:

Теперь для упрощения обозначим:

Тогда система преобразуется следующим образом:

1. $P \cdot S = 30$ (из первого уравнения),

2. $S \cdot (S^2 - 3P) = 35$ (из второго уравнения, подставив сумму кубов).

Теперь решим эту систему. Из первого уравнения $P = \frac{30}{S}$, подставим это в второе уравнение:

Упростим:

Теперь, зная $S = 5$, подставим это значение в первое уравнение:

Теперь у нас есть $S = 5$ и $P = 6$. Можем найти $m$ и $n$, так как они являются корнями квадратного уравнения:

Подставим значения $S = 5$ и $P = 6$:

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Таким образом, $x = 3$ или $x = 2$. Значит, $m = 3$ и $n = 2$ (или наоборот).

Ответ: $m = 3$, $n = 2$ или $m = 2$, $n = 3$.