Решить систему уравнений: 3^x + 3^y = 12 6^(x + y) = 216

Для решения системы уравнений:

Начнем с того, что перепишем второе уравнение $6^{x + y} = 216$.

Заметим, что $216 = 6^3$, так что второе уравнение можно записать как:

Таким образом, $x + y = 3$.

Теперь, подставим $y = 3 - x$ из первого уравнения во второе.

У нас есть система:

1. $3^x + 3^y = 12$

2. $y = 3 - x$

Подставляем во первое уравнение:

Теперь разберем это уравнение. Мы можем переписать $3^{3 - x}$ как $3^3 \cdot 3^{-x} = 27 \cdot 3^{-x}$, и уравнение примет вид:

Далее, умножим обе части уравнения на $3^x$, чтобы избавиться от дроби:

Теперь упрощаем:

Это квадратное уравнение относительно $3^x$. Обозначим $z = 3^x$, тогда уравнение принимает вид:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Теперь находим корни уравнения:

Таким образом, у нас два корня:

Возвращаемся к переменной $3^x$. Получаем два возможных значения для $3^x$:

1. $3^x = 9$, тогда $x = 2$

2. $3^x = 3$, тогда $x = 1$

Теперь находим соответствующие значения $y$ из $y = 3 - x$:

1. Если $x = 2$, то $y = 3 - 2 = 1$

2. Если $x = 1$, то $y = 3 - 1 = 2$

Таким образом, решение системы уравнений: $x = 2, y = 1$ или $x = 1, y = 2$.