log2(x+2) = log2(x^2 + x - 7)

Чтобы решить уравнение $\log_2(x+2) = \log_2(x^2 + x - 7)$, воспользуемся свойством логарифмов: если $\log_a(A) = \log_a(B)$, то $A = B$, при условии, что обе выражения под логарифмами положительны.

1. Приравняем выражения под логарифмами:

   $$x + 2 = x^2 + x - 7$$

2. Переносим все члены на одну сторону:

   $$0 = x^2 + x - 7 - (x + 2)$$ $$0 = x^2 + x - 7 - x - 2$$

   Упростим:

   $$0 = x^2 - 9$$

3. Это уравнение можно записать как разность квадратов:

   $$0 = (x - 3)(x + 3)$$

4. Решаем уравнение:

   $$x - 3 = 0 \quad \text{или} \quad x + 3 = 0$$ $$x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3$$

5. Теперь проверим, какие из найденных решений удовлетворяют исходным логарифмическим выражениям. Логарифм определён только для положительных аргументов.

   • Для $x = 3$:

     $$\log_2(3+2) = \log_2(5) \quad \text{и} \quad \log_2(3^2 + 3 - 7) = \log_2(5)$$

     Это решение подходит, так как оба аргумента положительные.

   • Для $x = -3$:

     $$\log_2(-3+2) = \log_2(-1) \quad \text{и} \quad \log_2((-3)^2 + (-3) - 7) = \log_2(5)$$

     Логарифм от отрицательного числа не существует, поэтому $x = -3$ не является допустимым решением.

Таким образом, единственное решение уравнения — это $x = 3$.