Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью OX и кривой y = 25 - x².

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной осью OX и кривой $y = 25 - x^2$, нужно найти интеграл функции $y = 25 - x^2$ на том промежутке, где эта функция положительна (то есть выше оси OX).

1. Найдем точки пересечения кривой с осью OX:
   Для этого приравняем $y = 0$ и решим уравнение:

   $$25 - x^2 = 0$$ $$x^2 = 25$$ $$x = \pm 5$$

   То есть кривая пересекает ось OX в точках $x = -5$ и $x = 5$.

2. Определим интеграл:
   Площадь фигуры между кривой и осью OX будет равна интегралу функции $y = 25 - x^2$ от $x = -5$ до $x = 5$:

   $$S = \int_{-5}^{5} (25 - x^2) \, dx$$

3. Вычислим интеграл:
   Разделим его на два отдельных интеграла:

   $$S = \int_{-5}^{5} 25 \, dx - \int_{-5}^{5} x^2 \, dx$$

   • Первый интеграл:

     $$\int_{-5}^{5} 25 \, dx = 25 \cdot (5 - (-5)) = 25 \cdot 10 = 250$$

   • Второй интеграл:

     $$\int_{-5}^{5} x^2 \, dx$$

     Так как функция $x^2$ симметрична относительно оси OX, то можно вычислить интеграл только на промежутке от 0 до 5 и умножить результат на 2:

     $$\int_{-5}^{5} x^2 \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{5} x^2 \, dx$$

     Теперь вычислим интеграл от $x^2$:

     $$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$$

     Тогда:

     $$\int_{0}^{5} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{5} = \frac{5^3}{3} - 0 = \frac{125}{3}$$

     Значит:

     $$\int_{-5}^{5} x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{125}{3} = \frac{250}{3}$$

4. Подставим результаты в формулу для площади:

   $$S = 250 - \frac{250}{3}$$

   Приведем к общему знаменателю:

   $$S = \frac{750}{3} - \frac{250}{3} = \frac{500}{3}$$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной осью OX и кривой $y = 25 - x^2$, равна $\frac{500}{3}$ квадратных единиц.