Каково взаимное расположение прямых АВ1 и ВD1 в прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1? А: скрещиваются В: пересекаются С: параллельны

Ответ: А — скрещиваются.

Пояснение. Удобно ввести координаты прямоугольного параллелепипеда:
$A(0,0,0),\; B(1,0,0),\; D(0,1,0),\; A_1(0,0,1),\; B_1(1,0,1),\; D_1(0,1,1)$.

Тогда

• прямая $AB_1$: $(t,0,t)$ (направляющий вектор $\vec v_1=(1,0,1)$);

• прямая $BD_1$: $(1-s,\; s,\; s)$ (направляющий вектор $\vec v_2=(-1,1,1)$).

1. Пересечения нет: из равенства $(t,0,t)=(1-s,s,s)$ сразу получаем $s=0$ по второй координате, откуда $t=0$ по третьей, но тогда по первой $t=1$ — противоречие.

2. Параллельности нет: $\vec v_1$ и $\vec v_2$ не коллинеарны.

3. Прямые некомпланарны: смешанное произведение $[\vec v_1,\vec v_2,\overrightarrow{AB}]$, где $\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$, равно
   $\det\begin{pmatrix}1&0&1\\-1&1&1\\1&0&0\end{pmatrix}=-1\neq 0$.
   Значит, они не лежат в одной плоскости.

Следовательно, $AB_1$ и $BD_1$ — скрещивающиеся прямые.