Найди все такие трёхзначные числа N, что сумма цифр числа N в 11 раз меньше самого числа N (не забудь обосновать ответ).

Пусть $N$ — трёхзначное число, тогда

где $a\in\{1,\dots,9\}$, $b,c\in\{0,\dots,9\}$. Сумма цифр:

По условию “сумма цифр числа $N$ в 11 раз меньше самого числа $N$” означает:

Подставим:

Раскроем скобки и перенесём:

Теперь оценим правую часть. Так как $b\le 9$, $c\le 9$, то

Значит,

(потому что при $a\ge 2$ было бы $89a\ge 178$, что невозможно).

Итак, $a=1$, и уравнение становится:

Переберём $c\in\{0,\dots,9\}$:

Чтобы $b$ был цифрой (от 0 до 9), нужно, чтобы $89-10c\in[0,9]$.
Проверяем:

• при $c=8$: $b=89-80=9$ — подходит;

• при $c=7$: $b=19$ — не цифра;

• при $c=9$: $b=-1$ — не цифра;
  остальные $c$ дадут $b$ ещё дальше от диапазона $[0,9]$.

Значит, единственное решение: $a=1$, $b=9$, $c=8$, то есть

Проверка:

Условие выполняется.

Ответ: $N=198$.