В прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 10 см вписан имеющий с ним общий угол прямоугольник наибольшей площади. Найти площадь прямоугольника. (Решать через функцию)

Расположим прямоугольный треугольник так, чтобы прямой угол был в точке $O(0,0)$, катет $10$ см лежал на оси $Ox$, а катет $6$ см — на оси $Oy$. Тогда вершины треугольника можно взять:

Впишем прямоугольник так, чтобы он имел с треугольником общий угол в точке $O$ (то есть один его угол совпадает с углом треугольника при $O$), а стороны прямоугольника шли вдоль катетов. Тогда противоположная вершина прямоугольника имеет координаты $(x,y)$, где

и она должна лежать на гипотенузе $AB$.

1) Уравнение гипотенузы

Прямая проходит через точки $A(10,0)$ и $B(0,6)$. Её наклон:

Значит, уравнение можно записать в виде

2) Площадь прямоугольника как функция

Площадь прямоугольника:

Но $y$ выражается через $x$ по гипотенузе:

Тогда площадь как функция одной переменной:

Область допустимых значений: $0\le x\le 10$ (при $x=0$ площадь ноль, при $x=10$ $y=0$, тоже ноль).

3) Максимум функции

Найдём производную:

Приравняем к нулю:

Проверим, что это максимум: функция $S(x)=6x-\frac{3}{5}x^2$ — парабола с ветвями вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный), значит найденная критическая точка даёт максимум.

Найдём соответствующее $y$:

4) Максимальная площадь

Ответ: $15\ \text{см}^2$.