Решите симметричную систему уравнений: х - ху + у = 1, х² + у² + 2х + 2у = 11.

Давайте разберёмся с этой симметричной системой уравнений шаг за шагом:

Система:

1. $x - xy + y = 1$

2. $x^2 + y^2 + 2x + 2y = 11$

Шаг 1: Используем симметрию

Заметим, что система симметрична по $x$ и $y$. Часто помогает ввести новые переменные:

Тогда первое уравнение:

Шаг 2: Перепишем второе уравнение через $s$ и $p$

Напомним формулу:

Подставляем во второе уравнение:

Подставляем $p = s - 1$:

Шаг 3: Найдём $p$

• Если $s = 3$, то $p = 3 - 1 = 2$

• Если $s = -3$, то $p = -3 - 1 = -4$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение для $x$ и $y$

Квадратное уравнение с суммой и произведением корней:

1. Для $s = 3$, $p = 2$:

То есть пары $(x, y)$:

2. Для $s = -3$, $p = -4$:

Дискриминант: $9 + 16 = 25$
$\sqrt{25} = 5$

То есть пары $(x, y)$:

Шаг 5: Проверим первое уравнение

1. $(1, 2)$: $1 - 1*2 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$