Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 42 км/ч ,а вторую - со скоростью 102 км/ч.найти среднюю скорость на протяжении всего пути

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении всего пути, нельзя просто взять среднее арифметическое скоростей, так как автомобиль проехал половину пути с одной скоростью, а вторую половину с другой. Средняя скорость рассчитывается как общее расстояние, пройденное автомобилем, делённое на общее время, затраченное на этот путь.

Обозначим:

• $S$ — длина всего пути.
• $S/2$ — длина каждой из половин пути.
• $v_1 = 42 \, \text{км/ч}$ — скорость на первой половине.
• $v_2 = 102 \, \text{км/ч}$ — скорость на второй половине.

Шаги решения:

1. Найдем время, затраченное на каждую половину пути: Время $t_1$, затраченное на первую половину пути, вычисляется по формуле $t = \frac{s}{v}$:

   $$t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2 \cdot v_1}$$

   Аналогично для второй половины пути:

   $$t_2 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2 \cdot v_2}$$

2. Найдем общее время движения: Сложим времена $t_1$ и $t_2$:

   $$t_{\text{общ}} = t_1 + t_2 = \frac{S}{2 \cdot v_1} + \frac{S}{2 \cdot v_2}$$

3. Запишем формулу средней скорости: Средняя скорость $v_{\text{ср}}$ определяется как:

   $$v_{\text{ср}} = \frac{\text{Общее расстояние}}{\text{Общее время}}$$

   Подставим значения:

   $$v_{\text{ср}} = \frac{S}{t_{\text{общ}}} = \frac{S}{\frac{S}{2 \cdot v_1} + \frac{S}{2 \cdot v_2}}$$

4. Упростим выражение: Сократим $S$ в числителе и знаменателе:

   $$v_{\text{ср}} = \frac{1}{\frac{1}{2 \cdot v_1} + \frac{1}{2 \cdot v_2}}$$

   Вынесем $\frac{1}{2}$ за скобки:

   $$v_{\text{ср}} = \frac{1}{\frac{1}{2} \left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$$

5. Подставим значения скоростей:

   $$v_{\text{ср}} = \frac{2}{\frac{1}{42} + \frac{1}{102}}$$

   Приведем дроби к общему знаменателю $42 \cdot 102 = 4284$:

   $$\frac{1}{42} = \frac{102}{4284}, \quad \frac{1}{102} = \frac{42}{4284}$$