Решите уравнение 3*2^2x+6^x-2*3^2x=0

Для того чтобы решить уравнение $3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0$, давайте поэтапно разберем его.

Шаг 1: Перепишем выражения с одинаковыми основаниями

У нас есть три степени с разными основаниями. Постараемся выразить их через более простые степени.

• $6^x$ можно представить как $(2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$.

• $3^{2x}$ можно переписать как $(3^x)^2$.

• $2^{2x}$ можно переписать как $(2^x)^2$.

Теперь перепишем исходное уравнение с этими выражениями:

Шаг 2: Введение новых переменных

Чтобы упростить дальнейшие вычисления, введем новые переменные:

• Пусть $a = 2^x$,

• Пусть $b = 3^x$.

Теперь уравнение примет вид:

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Это уравнение по своей структуре напоминает квадратное относительно $a$ и $b$. Перепишем его в стандартной форме:

Попробуем решить это уравнение через выделение общего множителя. Из первой и второй части уравнения можно выделить $a$:

Теперь это уравнение можно решить относительно $a$ и $b$. Поскольку у нас введены экспоненты $a = 2^x$ и $b = 3^x$, можно продолжить решать через подстановку значений.

Шаг 4: Проверка возможных значений

Попробуем найти конкретные значения $x$, которые удовлетворяют уравнению. Для этого можно использовать тестирование некоторых простых значений $x$ или решить уравнение численно.

Когда $x = 0$, тогда $a = 2^0 = 1$ и $b = 3^0 = 1$, и подставим это в уравнение:

При $x = 1$, $a = 2^1 = 2$ и $b = 3^1 = 3$:

Это верное равенство! Таким образом, $x = 1$ является решением.

Шаг 5: Заключение

Решением уравнения является $x = 1$.