Решите неравенство 5х-х^2=0

Для того чтобы решить неравенство $5x - x^2 = 0$, давайте преобразуем его в более удобный вид.

Шаг 1: Перепишем уравнение.

Перепишем исходное уравнение, чтобы выделить общий множитель:

Преобразуем его так, чтобы вынести общий множитель:

Шаг 2: Найдем корни уравнения.

Теперь у нас есть произведение двух выражений $x$ и $5 - x$. Чтобы это произведение равнялось нулю, один из множителей должен быть равен нулю.

1. $x = 0$

2. $5 - x = 0 \Rightarrow x = 5$

Таким образом, у уравнения есть два корня: $x = 0$ и $x = 5$.

Шаг 3: Анализ знаков.

Теперь нужно определить, когда выражение $x(5 - x)$ меньше или равно нулю. Для этого рассмотрим интервалы, на которых выражение может менять знак. Мы знаем, что выражение изменяет знак в точках $x = 0$ и $x = 5$.

Разделим числовую ось на три интервала:

1. $x < 0$

2. $0 \leq x \leq 5$

3. $x > 5$

Теперь проверим знак выражения $x(5 - x)$ на каждом из этих интервалов:

1. Если $x < 0$ (например, $x = -1$):

   $$(-1)(5 - (-1)) = (-1)(6) = -6 \quad (\text{отрицательное число}).$$

2. Если $0 \leq x \leq 5$ (например, $x = 2$):

   $$(2)(5 - 2) = (2)(3) = 6 \quad (\text{положительное число}).$$

3. Если $x > 5$ (например, $x = 6$):

   $$(6)(5 - 6) = (6)(-1) = -6 \quad (\text{отрицательное число}).$$

Шаг 4: Ответ на неравенство.

Неравенство $x(5 - x) \leq 0$ выполняется, когда произведение выражений меньше или равно нулю. Мы видим, что это происходит на интервалах:

Ответ: неравенство $5x - x^2 = 0$ решается при $x \in (-\infty, 0] \cup [5, \infty)$.