3|x+1| + 1/2|x-2| - 3/2x ≤ 8. Подробное решение.

Рассмотрим неравенство:

$3|x+1| + \frac{1}{2}|x-2| - \frac{3}{2}x \leq 8.$

Для решения этого неравенства нам нужно учесть абсолютные значения, которые будут принимать разные значения в зависимости от того, в какой части числовой оси находится $x$. Разделим решение на несколько случаев в зависимости от того, как выражаются модули.

Шаг 1: Определение областей для абсолютных значений

Абсолютные значения $|x+1|$ и $|x-2|$ зависят от того, чему равен $x$, и имеют следующие ключевые точки:

• $x = -1$ — точка, где меняется знак $|x+1|$.

• $x = 2$ — точка, где меняется знак $|x-2|$.

Таким образом, мы будем рассматривать 3 области для $x$:

1. $x < -1$

2. $-1 \leq x < 2$

3. $x \geq 2$

Шаг 2: Рассмотрение случаев

1. $x < -1$

В этой области оба выражения $x+1$ и $x-2$ отрицательны, поэтому:

• $|x+1| = -(x+1) = -x - 1$

• $|x-2| = -(x-2) = -x + 2$

Тогда неравенство принимает вид:

Упростим:

Объединяем подобные члены:

Прибавим 2 к обеим частям неравенства:

Теперь разделим обе части на -5 (при этом неравенство поменяет знак):

Таким образом, для области $x < -1$ решение получается $-2 \leq x < -1$.

2. $-1 \leq x < 2$

В этой области $x+1 \geq 0$ и $x-2 < 0$, поэтому:

• $|x+1| = x + 1$

• $|x-2| = -(x - 2) = -x + 2$

Тогда неравенство принимает вид:

Упростим: