Решить неравенство: 3^2x-4*3^x+3≤0. 5^2x+4*5^x-5≥0.

Ответы на вопрос

Отвечает Чернова Александра.

Рассмотрим систему из двух неравенств:

Решим каждое из них по отдельности.

3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 \leq 0

Заменим $3^x = t$ , где $t > 0$ , так как показательная функция всегда положительна.

Тогда неравенство превращается в квадратное:

t^2 - 4t + 3 \leq 0

Решим это квадратное неравенство:

t^2 - 4t + 3 = 0 \Rightarrow D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4

Корни:

t = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow t_1 = 1, \quad t_2 = 3

Так как ветви параболы направлены вверх (коэффициент при $t^2$ положительный), неравенство $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ выполняется при:

1 \leq t \leq 3

Возвращаемся к переменной $x$ :

1 \leq 3^x \leq 3 \Rightarrow \log_3(1) \leq x \leq \log_3(3) \Rightarrow 0 \leq x \leq 1

5^{2x} + 4 \cdot 5^x - 5 \geq 0

Аналогично, заменим $5^x = t$ , $t > 0$

Тогда:

t^2 + 4t - 5 \geq 0

Решим квадратное неравенство:

t^2 + 4t - 5 = 0 \Rightarrow D = 16 + 20 = 36

Корни:

t = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} \Rightarrow t_1 = -5, \quad t_2 = 1

При этом только положительные значения $t$ имеют смысл, так как $t = 5^x > 0$ . Нас интересует область:

t \geq 1 \Rightarrow 5^x \geq 1 \Rightarrow x \geq \log_5(1) = 0

Из первого неравенства:

0 \leq x \leq 1

Из второго неравенства:

x \geq 0

Значит, совместное решение — это пересечение двух множеств:

x \in [0, 1]

\boxed{x \in [0, 1]}

Хочешь, чтобы я построил график для наглядности?

Похожие вопросы

Последние заданные вопросы в категории Математика

Решить неравенство: 3^2x-43^x+3≤0. 5^2x+45^x-5≥0.