Какое минимальное значение принимает выражение:
a²+b²+c²-ab-bc-c

Для определения минимального значения выражения $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$, нам нужно преобразовать его так, чтобы можно было легче анализировать.

Сначала, применим квадратичное дополнение, чтобы преобразовать данное выражение в сумму квадратов. Это можно сделать, добавляя и вычитая одинаковые термины:

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}bc + \frac{1}{2}ca - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}bc - \frac{1}{2}ca$

Перегруппируем термины:

$= \frac{1}{2}(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca) + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}bc + \frac{1}{2}ca$

$= \frac{1}{2}((a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2)) + \frac{1}{2}(ab + bc + ca)$

Применяем формулу квадрата разности:

$= \frac{1}{2}((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2) + \frac{1}{2}(ab + bc + ca)$

Теперь видно, что первые три термина представляют собой сумму квадратов и они всегда будут неотрицательными, так как квадрат любого числа неотрицателен. Таким образом, эта часть выражения достигает своего минимального значения 0, когда $a = b = c$.

Однако, вторая часть выражения $\frac{1}{2}(ab + bc + ca)$ может быть отрицательной, если хотя бы два из чисел $a$, $b$, и $c$ имеют разные знаки. В этом случае, произведение будет отрицательным и уменьшит общее значение выражения.

Определить точное минимальное значение для второй части выражения без дополнительных ограничений на $a$, $b$, и $c$ сложно, так как оно зависит от значений этих переменных. Но, в целом, минимальное значение всего исходного выражения будет зависеть от значений $a$, $b$, и $c$ и может быть отрицательным, если эти значения выбраны соответственно.