Найти D(y), если y = x - 1 / корень из x^2-9

Чтобы найти производную функции $y = x - \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}}$, воспользуемся правилом дифференцирования.

1. Запись функции:

   $$y = x - \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}}$$

2. Найдем производную $D(y)$: Используем правило производной суммы, а также правило производной дроби. Производная суммы будет равна сумме производных:

   $$D(y) = D(x) - D\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}}\right)$$

   • Производная $D(x) = 1$.

   • Теперь найдем производную второго члена $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}}$. Для этого используем правило производной дроби и цепное правило.

   Пусть $u = \sqrt{x^2 - 9}$. Тогда $\frac{1}{u}$ имеет производную:

   $$D\left(\frac{1}{u}\right) = -\frac{1}{u^2} D(u)$$

   Теперь найдем производную $u$:

   $$u = (x^2 - 9)^{1/2} \quad \Rightarrow \quad D(u) = \frac{1}{2}(x^2 - 9)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 9}}$$

   Подставим это значение в производную $D\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}}\right)$:

   $$D\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}}\right) = -\frac{1}{(x^2 - 9)} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - 9}} = -\frac{x}{(x^2 - 9)^{3/2}}$$

3. Объединим все части: Подставляя найденные производные обратно в $D(y)$:

   $$D(y) = 1 - \left(-\frac{x}{(x^2 - 9)^{3/2}}\right)$$ $$D(y) = 1 + \frac{x}{(x^2 - 9)^{3/2}}$$

4. Ответ: Таким образом, производная функции $y = x - \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}}$ равна:

   $$D(y) = 1 + \frac{x}{(x^2 - 9)^{3/2}}$$