Вычислите + решение
Sin(arcsin 1/3 - arccos 1/5)

Обозначим \(\alpha = \arcsin\frac{1}{3}\), \(\beta = \arccos\frac{1}{5}\).

Тогда \(\sin\alpha = \frac{1}{3}\), \(\alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\), значит \(\cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha} = \sqrt{1-\frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\).

\(\cos\beta = \frac{1}{5}\), \(\beta \in [0; \pi]\), значит \(\sin\beta = \sqrt{1-\cos^2\beta} = \sqrt{1-\frac{1}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}\).

По формуле синуса разности: \(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\).

Подставляем: \(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5} - \frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{1}{15} - \frac{4\sqrt{12}}{15} = \frac{1}{15} - \frac{8\sqrt{3}}{15} = \frac{1 - 8\sqrt{3}}{15}\).

Ответ: \(\displaystyle\frac{1 - 8\sqrt{3}}{15}\).

0 0 Пожаловаться