Решите неравенство: cos x < √3/2​

Чтобы решить неравенство $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$, нужно рассмотреть, при каких значениях угла $x$ косинус принимает значения, меньшее $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1. Определим значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ для косинуса: $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует углам $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целое число), так как косинус имеет период $2\pi$.

2. Интервалы для неравенства: Чтобы $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$, необходимо рассмотреть промежутки значений $x$, при которых косинус меньше данного числа. На единичной окружности $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует точкам $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{11\pi}{6}$. Между этими точками косинус больше или равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, а за пределами этого интервала он меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Запишем решение для неравенства: На промежутке $[0, 2\pi)$ для выполнения условия $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ $x$ должен находиться в интервалах:

   $$x \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\right)$$

4. Запишем общее решение: С учетом периодичности функции косинуса с периодом $2\pi$, общее решение будет:

   $$x \in \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k\right),$$

   где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, решение неравенства $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ заключается в объединении двух интервалов, которые включают все значения $x$, при которых косинус угла меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$.