Могут ли координаты одной и той же точки быть корнем нескольких уравнений? Как расположены в этом случае линии, заданные этими уравнениями? a) Проходят ли линии, заданные уравнениями 3x-y = -5; -x + 10y = 21; 11x+ 21y= 31 через точку A(-1; 2)? Почему? b) Существует ли точка, принадлежащая всем трём линиям, задаваемым уравнениями 0,2x + 3y = 4,5; -x + 4y = 6; 5x - 2y = -3? Если существует, то найдите её координаты.

Да, координаты одной точки могут быть корнем нескольких уравнений. В этом случае линии, заданные этими уравнениями, пересекаются в этой точке.

a) Подставим координаты точки A(-1; 2) в каждое уравнение:

\(3x - y = -5\): \(3 \cdot (-1) - 2 = -3 - 2 = -5\) — верно.
\(-x + 10y = 21\): \(-(-1) + 10 \cdot 2 = 1 + 20 = 21\) — верно.
\(11x + 21y = 31\): \(11 \cdot (-1) + 21 \cdot 2 = -11 + 42 = 31\) — верно.

Все три уравнения выполняются, значит, линии, заданные этими уравнениями, проходят через точку A.

b) Найдём точку пересечения первых двух линий:

\[ \begin{cases} 0{,}2x + 3y = 4{,}5 \\ -x + 4y = 6 \end{cases} \]

Умножим первое уравнение на 5: \(x + 15y = 22{,}5\). Сложим со вторым: \((x + 15y) + (-x + 4y) = 22{,}5 + 6\), откуда \(19y = 28{,}5\), \(y = 1{,}5\). Подставим в \(x + 15y = 22{,}5\): \(x + 15 \cdot 1{,}5 = 22{,}5\), \(x + 22{,}5 = 22{,}5\), \(x = 0\).

Получили точку (0; 1,5). Проверим, удовлетворяет ли она третьему уравнению \(5x - 2y = -3\): \(5 \cdot 0 - 2 \cdot 1{,}5 = -3\) — верно.

Значит, точка (0; 1,5) принадлежит всем трём линиям.

0 0 Пожаловаться