.Вычислить (корень из 3-i)^17

Если имеется в виду выражение \( (\sqrt{3}-i)^{17} \), решим через тригонометрическую форму комплексного числа.

Для числа \( z=\sqrt{3}-i \):

\[ |z|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=2 \]

Аргумент: \( \varphi=-\frac{\pi}{6} \), потому что \( \cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin\varphi=-\frac{1}{2} \).

Тогда:

\[ (\sqrt{3}-i)^{17}=2^{17}\left(\cos\left(-\frac{17\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{17\pi}{6}\right)\right) \]

\[ -\frac{17\pi}{6}=\frac{7\pi}{6} \pmod{2\pi} \]

\[ \cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2} \]

Ответ:

\[ (\sqrt{3}-i)^{17}=-65536\sqrt{3}-65536i \]

0 0 Пожаловаться