Дано неравенство 3 −7 > 5 −, где — переменная, — некоторое число. При каком значении множеством решений неравенства является множество (−∞; 1)?

Рассмотрим заданное неравенство:

$3 - 7x > 5 - kx,$

где $x$ — переменная, $k$ — некоторое число. Необходимо найти такое значение $k$, при котором множеством решений данного неравенства будет интервал $(-∞; 1)$.

Шаг 1. Преобразуем неравенство.

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а остальные числа — в правую часть:

Упрощаем выражение:

Шаг 2. Условие изменения знака при делении.

Знак $k - 7$ определяет поведение неравенства. Рассмотрим два случая:

1. Если $k - 7 > 0$ (то есть $k > 7$), то деление на $k - 7$ не изменит знак неравенства. В этом случае:

   $$x > \frac{2}{k - 7}.$$

2. Если $k - 7 < 0$ (то есть $k < 7$), то деление на $k - 7$ изменит знак неравенства. В этом случае:

   $$x < \frac{2}{k - 7}.$$

Шаг 3. Условие для множества решений.

По условию задачи, множеством решений должно быть $x \in (-\infty; 1)$. Это означает, что:

• $x < 1$, то есть правая граница интервала решений равна 1.

Для этого требуется, чтобы:

Шаг 4. Решение уравнения.

Решим уравнение:

Умножим обе части на $k - 7$ (при этом предполагаем, что $k - 7 \neq 0$):

Найдём $k$:

Шаг 5. Проверка.

Подставим $k = 9$ в исходное преобразованное неравенство:

Разделим на 2:

Мы видим, что $x \in (-\infty; 1)$, как и требуется.

Ответ:

При $k = 9$ множеством решений неравенства является интервал $(-\infty; 1)$.