Помогите пожалуйста с тригонометрией
Решите тригонометрические уравнения:
1)3cos^2-5cosx-8=0
2)8cos^2x-14sinz+1=0
3)5sin^2x+14 sinxcosx+8cos^2x=0
4)2tgx-9ctgx +3=0
5)sin^2x-5cos^2x=2sin2x
6)5cos2x+5=8sin2x-6sin^2x

В записи есть опечатки: в 1-м уравнении нужно \(\cos^2 x\), во 2-м, скорее всего, \(\sin x\), а не \(\sin z\). Решим в таком виде.

1) \(3\cos^2 x-5\cos x-8=0\)

Пусть \(t=\cos x\). Тогда \(3t^2-5t-8=0\), откуда \(t=-1\) или \(t=\frac{8}{3}\). Второй корень невозможен, так как \(|\cos x|\le 1\).

Ответ: \(x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\).

2) \(8\cos^2 x-14\sin x+1=0\)

\(\cos^2 x=1-\sin^2 x\):

\[8(1-\sin^2 x)-14\sin x+1=0\]

\[8\sin^2 x+14\sin x-9=0\]

\(\sin x=\frac12\) или \(\sin x=-\frac94\). Второй корень невозможен.

Ответ: \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

3) \(5\sin^2 x+14\sin x\cos x+8\cos^2 x=0\)

Так как \(\cos x\ne0\), делим на \(\cos^2 x\):

\[5\tg^2 x+14\tg x+8=0\]

\(\tg x=-2\) или \(\tg x=-\frac45\).

Ответ: \(x=-\arctg 2+\pi n\) или \(x=-\arctg\frac45+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

4) \(2\tg x-9\ctg x+3=0\)

Пусть \(t=\tg x\), тогда \(\ctg x=\frac1t\):

\[2t-\frac9t+3=0\]

\[2t^2+3t-9=0\]

\(t=\frac32\) или \(t=-3\).

Ответ: \(x=\arctg\frac32+\pi n\) или \(x=-\arctg 3+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

5) \(\sin^2 x-5\cos^2 x=2\sin 2x\)

\(2\sin 2x=4\sin x\cos x\). Делим на \(\cos^2 x\):

\[\tg^2 x-5=4\tg x\]

\[\tg^2 x-4\tg x-5=0\]

\(\tg x=5\) или \(\tg x=-1\).

Ответ: \(x=\arctg 5+\pi n\) или \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

6) \(5\cos 2x+5=8\sin 2x-6\sin^2 x\)

Используем \(\cos 2x=1-2\sin^2 x\), \(\sin 2x=2\sin x\cos x\):

\[10-10\sin^2 x=16\sin x\cos x-6\sin^2 x\]

\[5-2\sin^2 x=8\sin x\cos x\]

Если поделить на \(\cos^2 x\), получаем:

\[5+3\tg^2 x=8\tg x\]

\[3\tg^2 x-8\tg x+5=0\]

\(\tg x=1\) или \(\tg x=\frac53\).

Ответ: \(x=\frac{\pi}{4}+\pi n\) или \(x=\arctg\frac53+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

0 0 Пожаловаться