Найти экстремум функции и найти её значение в этих точках.
[tex]f(x) = x {}^{3} - 6x {}^{2} + 9x + 11[/tex]

Функция: \( f(x)=x^3-6x^2+9x+11 \).

Найдём производную:

\[ f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3) \]

Критические точки находятся из условия \( f'(x)=0 \):

\[ 3(x-1)(x-3)=0 \]

Получаем: \( x=1 \) и \( x=3 \).

Проверим знак второй производной:

\[ f''(x)=6x-12 \]

• При \( x=1 \): \( f''(1)=6-12=-6<0 \), значит, это точка максимума.
• При \( x=3 \): \( f''(3)=18-12=6>0 \), значит, это точка минимума.

Найдём значения функции:

\[ f(1)=1-6+9+11=15 \]

\[ f(3)=27-54+27+11=11 \]

Ответ: локальный максимум в точке \( x=1 \), значение \( f(1)=15 \); локальный минимум в точке \( x=3 \), значение \( f(3)=11 \).

0 0 Пожаловаться