Докажите тождество: (sin(a+b) + sin(a-b)) / (sin(a+b) - sin(a-b)) = tg a * ctg b.

Докажем тождество:

\[ \frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{\sin(a+b)-\sin(a-b)}=\tg a \cdot \ctg b \]

Используем формулы суммы и разности синусов:

\[ \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b \]

\[ \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b \]

Тогда числитель:

\[ \sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b \]

Знаменатель:

\[ \sin(a+b)-\sin(a-b)=2\cos a\sin b \]

Подставим:

\[ \frac{2\sin a\cos b}{2\cos a\sin b}=\frac{\sin a}{\cos a}\cdot\frac{\cos b}{\sin b} \]

Так как \( \frac{\sin a}{\cos a}=\tg a \), а \( \frac{\cos b}{\sin b}=\ctg b \), получаем:

\[ \tg a \cdot \ctg b \]

Тождество доказано.

0 0 Пожаловаться