В полукруг радиуса 6 см вписан прямоугольник. Чему равна его наибольшая площадь?

Для решения этой задачи, нам нужно найти наибольшую площадь прямоугольника, который вписан в полукруг радиуса 6 см. Представьте, что прямоугольник вписан таким образом, что его одна сторона лежит на диаметре полукруга, а вершины противоположной стороны касаются дуги полукруга.

Для удобства, предположим, что центр полукруга находится в начале координат $O$ на плоскости XY, а диаметр полукруга расположен вдоль оси X. Таким образом, точки касания прямоугольника с полукругом будут находиться в точках $(x, \sqrt{36 - x^2})$ и $(-x, \sqrt{36 - x^2})$, где $x$ - расстояние от центра полукруга до вертикальной стороны прямоугольника.

Длина этой стороны прямоугольника будет равна удвоенному значению $y$, то есть $2\sqrt{36 - x^2}$. Длина другой стороны прямоугольника, лежащей на диаметре, равна $2x$. Таким образом, площадь прямоугольника $S$ будет равна:

$S = 2x \cdot 2\sqrt{36 - x^2} = 4x\sqrt{36 - x^2}$

Чтобы найти максимальное значение площади, нам нужно взять производную этого выражения по $x$ и приравнять её к нулю. Это стандартный метод определения локальных максимумов и минимумов функции.

Пусть $f(x) = 4x\sqrt{36 - x^2}$ Тогда $f'(x) = \frac{d}{dx} (4x\sqrt{36 - x^2})$

Давайте найдем $f'(x)$ и решим уравнение $f'(x) = 0$ для $x$.

Уравнение $f'(x) = 0$ имеет два решения: $x = -3\sqrt{2}$ и $x = 3\sqrt{2}$. Однако, поскольку $x$ представляет собой расстояние (и поэтому не может быть отрицательным), мы рассматриваем только положительное значение $x = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь мы можем подставить это значение обратно в исходную формулу для площади, чтобы найти максимальную площадь прямоугольника.

$S_{\text{max}} = 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{36 - (3\sqrt{2})^2}$

Давайте вычислим $S_{\text{max}}$. ​​

Наибольшая площадь вписанного прямоугольника в полукруг радиуса 6 см составляет $72$ квадратных сантиметров. ​​