В прямоугольнике mnkp на сторонах nk и mp отмечены точки e и f так, что NE:EK = 3:4, MF:FP = 2:3. Найдите отношение площадей четырехугольников MNEF и PKEF.

Задача заключается в том, чтобы найти отношение площадей четырехугольников $MNEF$ и $PKEF$ в прямоугольнике $MNKP$, где на сторонах $NK$ и $MP$ отмечены точки $E$ и $F$, соответственно, так что выполняются следующие условия:

1. $NE : EK = 3 : 4$, что означает, что точка $E$ делит сторону $NK$ в отношении 3:4.
2. $MF : FP = 2 : 3$, что означает, что точка $F$ делит сторону $MP$ в отношении 2:3.

Шаг 1. Определение координат точек

Предположим, что прямоугольник $MNKP$ расположен в координатной плоскости таким образом:

• $M(0, 0)$,
• $N(a, 0)$,
• $K(a, b)$,
• $P(0, b)$.

Тогда точка $E$, делящая сторону $NK$ в отношении 3:4, будет иметь координаты:

Точка $F$, делящая сторону $MP$ в отношении 2:3, будет иметь координаты:

Шаг 2. Вычисление площади четырехугольников

Теперь, зная координаты точек $M(0, 0)$, $N(a, 0)$, $P(0, b)$ и $K(a, b)$, можно найти площади двух четырехугольников.

Площадь любого многоугольника, заданного координатами вершин $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, ..., $(x_n, y_n)$, вычисляется по формуле:

Площадь четырехугольника $MNEF$

Для четырехугольника $MNEF$ вершины будут иметь следующие координаты: $M(0, 0)$, $N(a, 0)$, $E\left( \frac{4a}{7}, 0 \right)$, $F\left( 0, \frac{3b}{5} \right)$.

Используем формулу для площади:

Упростив, получаем:

Площадь четырехугольника $PKEF$

Теперь для четырехугольника $PKEF$ вершины будут $P(0, b)$, $K(a, b)$, $E\left( \frac{4a}{7}, 0 \right)$