В 8 ч утра экскурсанты отправились вниз по течению реки и,проплыв 35 км,сделали остановку на 3,5ч,а затем вернулись обратно.Возратились они в 17 ч 30 мин.Сколько времени плыли экскурсанты до места отдыха,если скорость течения реки 2 км/ч

Для того чтобы решить эту задачу, давайте разобьем её на несколько шагов.

1. Дано:

   • Экскурсанты плыли вниз по реке, а затем возвращались обратно.
   • Расстояние до места отдыха составило 35 км.
   • Время, которое они провели на отдыхе, равно 3,5 ч.
   • Время возвращения составило с 8:00 до 17:30, то есть 9,5 ч.
   • Скорость течения реки равна 2 км/ч.

2. Обозначим:

   • Скорость самого судна относительно воды — $v$ км/ч.
   • Время, которое экскурсанты потратили на путь вниз (до места отдыха), обозначим как $t_1$.
   • Время, которое они потратили на путь вверх (обратно), обозначим как $t_2$.

3. Для пути вниз (по течению):

   • Скорость судна относительно берега при движении вниз по реке будет равна $v + 2$ км/ч (потому что скорость течения реки добавляется к скорости судна).
   • Расстояние до места отдыха — 35 км.
   • Время, которое они плыли вниз: $$t_1 = \frac{35}{v + 2}.$$

4. Для пути вверх (против течения):

   • Скорость судна относительно берега при движении вверх будет равна $v - 2$ км/ч (потому что скорость течения реки препятствует движению).
   • Расстояние также 35 км.
   • Время, которое они плыли вверх: $$t_2 = \frac{35}{v - 2}.$$

5. Общее время пути: Экскурсанты потратили 9,5 ч на путь вниз и вверх, а также 3,5 ч на отдых. Таким образом, общее время можно выразить следующим образом:

   $$t_1 + t_2 + 3,5 = 9,5.$$

   То есть, время на путь вниз и вверх без учёта отдыха составило:

   $$t_1 + t_2 = 6.$$

6. Подставляем выражения для $t_1$ и $t_2$:

   $$\frac{35}{v + 2} + \frac{35}{v - 2} = 6.$$

7. Решаем уравнение: Чтобы решить это уравнение, привели его к общему знаменателю:

   $$\frac{35(v - 2) + 35(v + 2)}{(v + 2)(v - 2)} = 6.$$

   Упростим числитель:

   $$35(v - 2) + 35(v + 2) = 35v - 70 + 35v + 70 = 70v.$$

   Теперь уравнение примет вид:

   $$\frac{70v}{v^2 - 4} = 6.$$

   Умножим обе части уравнения на $v^2 - 4$, чтобы избавиться от знаменателя:

   $$70v = 6(v^2 - 4).$$

   Раскроем скобки:

   $$70v = 6v^2 - 24.$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$6v^2 - 70v - 24 = 0.$$

8. Решаем квадратное уравнение: Используем формулу для решения квадратных уравнений:

   $$v = \frac{-(-70) \pm \sqrt{(-70)^2 - 4(6)(-24)}}{2(6)}.$$

   Считаем дискриминант:

   $$D = (-70)^2 - 4(6)(-24) = 4900 + 576 = 5476.$$ $$\sqrt{5476} = 74.$$

   Подставляем в формулу:

   $$v = \frac{70 \pm 74}{12}.$$

   Получаем два корня:

   $$v = \frac{70 + 74}{12} = \frac{144}{12} = 12 \quad \text{или} \quad v = \frac{70 - 74}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}.$$

   Так как скорость не может быть отрицательной, то принимаем $v = 12$ км/ч.

9. Находим время, которое экскурсанты плыли до места отдыха: Теперь, когда мы знаем скорость судна относительно воды, можем найти время, которое они потратили на путь вниз:

   $$t_1 = \frac{35}{v + 2} = \frac{35}{12 + 2} = \frac{35}{14} = 2,5 \, \text{ч}.$$

Ответ: Экскурсанты плыли до места отдыха 2,5 часа.