Корень квадратный из х-4 = |4-х|

Рассмотрим уравнение:

Для того чтобы решить это уравнение, нужно учесть несколько важных моментов.

Шаг 1: Разбор области допустимых значений

Корень из выражения $x - 4$ существует только тогда, когда $x - 4 \geq 0$, то есть $x \geq 4$.

Кроме того, абсолютное значение $|4 - x|$ всегда определено для всех $x$, поэтому нет дополнительных ограничений на область значений для правой части уравнения.

Таким образом, уравнение будет иметь смысл только при $x \geq 4$.

Шаг 2: Разбор случаев для модуля

Абсолютное значение $|4 - x|$ зависит от того, больше ли $x$ или меньше 4:

• Если $x \leq 4$, то $|4 - x| = 4 - x$.
• Если $x > 4$, то $|4 - x| = x - 4$.

Но поскольку мы ограничены условием $x \geq 4$ (из первого шага), нам нужно рассмотреть два случая:

1. Если $x = 4$:

Подставим $x = 4$ в исходное уравнение:

Это верное равенство, значит $x = 4$ является решением уравнения.

2. Если $x > 4$:

В этом случае $|4 - x| = x - 4$, и уравнение примет вид:

Возведем обе части уравнения в квадрат (помня, что при этом нужно быть осторожным с возможными лишними решениями):

Раскроем скобки:

Переносим все в одну сторону:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант для уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$:

Корни уравнения:

Получаем два корня:

Теперь проверим, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

• Для $x = 4$ мы уже убедились, что решение верно.
• Для $x = 5$ подставим в исходное уравнение:

Это тоже верное равенство, значит $x = 5$ также является решением.

Итог:

Решениями уравнения являются $x = 4$ и $x = 5$.