Розв`яжіть систему трьома способами:∑3x+4y=55 7x-y=56

Чтобы решить систему уравнений $\begin{cases} 3x + 4y = 55 \\ 7x - y = 56 \end{cases}$ тремя способами, рассмотрим: метод подстановки, метод сложения и метод матриц.

1. Метод подстановки

1. Выразим $y$ из второго уравнения:

   $$7x - y = 56 \implies y = 7x - 56.$$

2. Подставим $y = 7x - 56$ в первое уравнение:

   $$3x + 4(7x - 56) = 55.$$

3. Раскроем скобки:

   $$3x + 28x - 224 = 55.$$

4. Сложим подобные:

   $$31x = 279.$$

5. Найдем $x$:

   $$x = \frac{279}{31} = 9.$$

6. Найдем $y$, подставив $x = 9$ во второе уравнение:

   $$y = 7(9) - 56 = 63 - 56 = 7.$$

Ответ: $x = 9, y = 7$.

2. Метод сложения (или исключения)

1. Умножим второе уравнение на 4, чтобы исключить $y$:

   $$\begin{cases} 3x + 4y = 55, \\ 28x - 4y = 224. \end{cases}$$

2. Сложим уравнения:

   $$3x + 28x + 4y - 4y = 55 + 224.$$

3. Получаем:

   $$31x = 279 \implies x = 9.$$

4. Подставим $x = 9$ во второе уравнение:

   $$7(9) - y = 56 \implies 63 - y = 56 \implies y = 7.$$

Ответ: $x = 9, y = 7$.

3. Метод матриц

Система может быть записана в матричной форме:

1. Найдем определитель матрицы коэффициентов:

   $$\text{det} = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & -1 \end{vmatrix} = (3)(-1) - (7)(4) = -3 - 28 = -31.$$

2. Найдем обратную матрицу (через алгебраические дополнения):

   $$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}} \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ -7 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{-31} \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ -7 & 3 \end{bmatrix}.$$

3. Умножим обратную матрицу на вектор свободных членов:

   $$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = A^{-1} \cdot \begin{bmatrix} 55 \\ 56 \end{bmatrix}.$$

   Выполнив вычисления, получаем:

   $$x = 9, \, y = 7.$$

Ответ: $x = 9, y = 7$.

Итог: Система решена тремя способами, и во всех случаях решение одинаковое: $x = 9$, $y = 7$.