Докажите, что при любых значениях переменных верно равенство

(x-y)(x+y)-(a-x+y)(a-x-y)-a(2x-a)=0

Давайте докажем, что равенство

выполняется при любых значениях переменных $x$, $y$, и $a$.

1. Раскроем скобки в каждом выражении

Первое выражение: $(x-y)(x+y)$

Применим формулу разности квадратов:

Второе выражение: $(a-x+y)(a-x-y)$

Опять используем формулу разности квадратов:

Теперь раскроем квадрат $(a-x)^2$:

Следовательно,

Третье выражение: $a(2x-a)$

Раскроем скобки:

2. Подставим все выражения в исходное равенство

Подставляем все три части в уравнение:

После подстановки:

3. Упростим выражение

Сначала раскроем скобки:

Теперь приводим подобные члены:

• $x^2 - x^2 = 0$,
• $-y^2 + y^2 = 0$,
• $-a^2 + a^2 = 0$,
• $2ax - 2ax = 0$.

Все члены сокращаются, и остается:

4. Вывод

Мы показали, что после упрощения все члены выражения сокращаются до нуля. Следовательно, равенство

выполняется при любых значениях переменных $x$, $y$, и $a$.

Доказательство завершено.