50 баллов. срочно!

2<2^(sinx/1-cosx)^2<8

Разберём неравенство $2 < 2^{\left(\frac{\sin x}{1 - \cos x}\right)^2} < 8$ подробно.

1. Простейшие преобразования

Обозначим:

Тогда неравенство становится:

2. Упростим условие

Логарифмируем обе части неравенства по основанию 2:

Так как $2^y$ – возрастающая функция, неравенство $2 < 2^y < 8$ эквивалентно $1 < y < 3$.

Теперь задача сводится к исследованию выражения:

и выяснению, когда оно лежит в интервале $(1, 3)$.

3. Преобразуем выражение

Рассмотрим дробь $\frac{\sin x}{1 - \cos x}$:

1. Свойство тригонометрии: $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
2. В знаменателе $1 - \cos x \neq 0$, так как $\cos x \neq 1$.

Упростим выражение:

Для удобства домножим числитель и знаменатель на $1 + \cos x$ (это стандартный приём для избавления от $1 - \cos x$ в знаменателе):

Так как $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$, знаменатель становится:

Тогда выражение упрощается:

4. Исследуем $\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}$

Обозначим:

Тогда:

Условие $1 < z < 3$ становится:

5. Решение двойного неравенства

Рассмотрим каждую часть:

Первая часть:

Умножим обе части на $1 - \cos x > 0$ (это выполняется, так как $\cos x < 1$):

Упростим:

Вторая часть: