Несколько одноклассников организовали турнир по шахматам.Каждый участник турнира сыграл с каждым по одной партии.За выигрыш присуждали 2очка,за ничью-1очко,за проигрыш-0 очков.Победитель турнира набрал 15 очков-в 5 раз меньше,чем остальные участники,вместе взятые.Сколько было участников турнира?

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Пусть количество участников турнира — это $n$. Победитель набрал 15 очков, и это в 5 раз меньше, чем очки всех остальных участников турнира, то есть:

где $S$ — сумма очков всех участников, кроме победителя. Следовательно, $S = 5 \cdot 15 = 75$. Это означает, что очки всех участников, кроме победителя, составляют 75 очков.

Теперь, поскольку каждый участник играет с каждым, общее количество партий между всеми участниками будет равно $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$, где $n$ — общее количество участников.

В каждой партии участники могут набрать 2 очка: 2 очка за победу одного из игроков или 1 очко за ничью (по одному очку каждому). Следовательно, общее количество очков в турнире равно $2 \cdot \binom{n}{2} = n(n-1)$.

Теперь у нас есть два выражения для суммы очков:

1. Очки победителя — 15.
2. Очки остальных участников — 75.

Следовательно, общее количество очков турнира будет равно:

Теперь приравняем это к формуле для общего количества очков:

Решим это уравнение. Раскроем скобки:

Переносим все в одну сторону:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равен:

Подставим значения $a = 1$, $b = -1$, $c = -90$:

Теперь находим корни уравнения:

Таким образом, $n = \frac{1 + 19}{2} = 10$ или $n = \frac{1 - 19}{2} = -9$.

Поскольку количество участников не может быть отрицательным, то правильный ответ — $n = 10$.

Значит, в турнире было 10 участников.