Образующая конуса равна 10 см и она наклонена к плоскости основания под углом 30°. Вычислите высоту

Ответы на вопрос

Отвечает Ходыкин Андрей.

Для того чтобы решить задачу, нужно использовать данные о геометрии конуса и несколько формул.

Дано:

Образующая конуса (l) = 10 см
Угол наклона образующей к плоскости основания (α) = 30°

1. Высота конуса

Высота конуса (h) связана с образующей и углом наклона. Мы можем использовать тригонометрию, так как образующая, высота и радиус основания составляют прямоугольный треугольник.

Из формулы для косинуса угла наклона:

\cos(\alpha) = \frac{h}{l}

Подставляем известные значения:

\cos(30^\circ) = \frac{h}{10}

Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , получаем:

\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{10}

Теперь решаем относительно h:

h = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \, \text{см}

Ответ: высота конуса $h \approx 8.66 \, \text{см}$ .

2. Площадь полной поверхности

Полная поверхность конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности.

Площадь основания:

Площадь основания (S_осн) — это площадь круга, радиус которого равен $r$ . Для этого сначала найдем радиус.

Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей:

l^2 = h^2 + r^2

Подставляем значения $l = 10$ см и $h = 5\sqrt{3}$ см:

10^2 = (5\sqrt{3})^2 + r^2

100 = 75 + r^2

r^2 = 100 - 75 = 25

r = \sqrt{25} = 5 \, \text{см}

Теперь, площадь основания:

S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 78.54 \, \text{см}^2

Площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности (S_бок) вычисляется по формуле:

S_{\text{бок}} = \pi r l

Подставляем $r = 5$ см и $l = 10$ см:

S_{\text{бок}} = \pi \cdot 5 \cdot 10 = 50\pi \approx 157.08 \, \text{см}^2

Общая площадь поверхности:

Полная площадь поверхности конуса — это сумма площади основания и площади боковой поверхности:

S_{\text{пол}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 25\pi + 50\pi = 75\pi \approx 235.62 \, \text{см}^2

Ответ:

Высота конуса $h \approx 8.66 \, \text{см}$ .
Площадь полной поверхности $S_{\text{пол}} \approx 235.62 \, \text{см}^2$ .

Образующая конуса равна 10 см и она наклонена к плоскости основания под углом 30°. Вычислите высоту конуса и площадь полной поверхности.