Площадь прямоугольного треугольника равна 450√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы. СРОЧНО!!!

Для того чтобы найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника, давайте сначала разберемся, что нам известно:

• Площадь треугольника равна $450\sqrt{3}$.
• Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $30^\circ$.

Так как угол $30^\circ$ является острым углом прямоугольного треугольника, это значит, что другой острый угол будет $60^\circ$ (так как сумма углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$, а один угол уже $90^\circ$).

Шаг 1. Формула площади прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

где $a$ и $b$ — это катеты треугольника. Нам известно, что площадь $S = 450\sqrt{3}$, поэтому:

Умножим обе части на 2:

Шаг 2. Используем тригонометрию

Так как угол $30^\circ$ — это один из острых углов, можем выразить катеты через гипотенузу $c$ с использованием синуса и косинуса:

• Катет $a$ напротив угла $30^\circ$ можно выразить через гипотенузу $c$ как:

  $$a = \frac{c}{2}$$

• Катет $b$ напротив угла $60^\circ$ можно выразить через гипотенузу $c$ как:

  $$b = \frac{c\sqrt{3}}{2}$$

Теперь подставим эти выражения для $a$ и $b$ в уравнение площади:

Упростим выражение:

Шаг 3. Решаем уравнение для $c$

Теперь избавимся от $\sqrt{3}$ с обеих сторон, разделив обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

Умножим обе части на 4:

Теперь извлекаем квадратный корень:

Ответ:

Длина гипотенузы треугольника равна $60$.