Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Что такое неравенство треугольника?

Неравенство треугольника — это утверждение, согласно которому в любом треугольнике сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны. Иными словами, для любых трёх сторон треугольника (пусть их длины обозначены как $a$, $b$ и $c$) выполняются следующие неравенства:

Это правило гарантирует, что из трёх отрезков можно построить треугольник. Если хотя бы одно из этих неравенств не выполняется, то треугольник сформировать невозможно.

Доказательство неравенства треугольника

Для того чтобы доказать, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, представим себе треугольник с длинами сторон $a$, $b$ и $c$.

1. Рассмотрим первую сторону $a$. Мы должны доказать, что она меньше суммы двух других сторон, то есть:

Предположим, что это не так, и $a \geq b + c$. В таком случае, по определению треугольника, если длина одной стороны больше или равна сумме двух других, то мы не можем построить треугольник, потому что одна сторона «перекроет» две другие. Это противоречит тому, что у нас существует треугольник, и значит, предположение неверно. Следовательно, $a < b + c$.

2. То же самое можно доказать для остальных сторон $b$ и $c$, используя аналогичные рассуждения:

Таким образом, все три неравенства выполняются, и мы приходим к выводу, что каждая сторона треугольника действительно меньше суммы двух других сторон.