Одна сторона треугольника равна 4, а длины двух других его сторон относятся как 3 : 5. Докажите, что периметр треугольника меньше 20

Давайте рассмотрим треугольник, одна сторона которого равна 4, а длины двух других сторон относятся как 3 : 5. Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$, где $a = 4$, $b = 3k$ и $c = 5k$ для некоторого положительного числа $k$.

Теперь вычислим периметр треугольника:

Чтобы доказать, что периметр меньше 20, мы можем установить неравенство:

Вычтем 4 из обеих сторон:

Теперь разделим обе стороны на 8:

Это означает, что значение $k$ должно быть меньше 2. Теперь давайте убедимся, что такой треугольник может существовать, проверив неравенства треугольника. Неравенства треугольника гласят, что сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Применим это к нашему треугольнику:

1. $4 + 3k > 5k$

   $$4 > 5k - 3k \implies 4 > 2k \implies k < 2$$

2. $4 + 5k > 3k$

   4 > 3k - 5k \implies 4 > -2k \implies 4 > -2k \quad (всегда верно, так как \( k \) положительно)

3. $3k + 5k > 4$

   $$8k > 4 \implies k > \frac{1}{2}$$

Таким образом, мы имеем:

Теперь, подставляя границы для $k$ в выражение для периметра, мы можем подтвердить, что он всегда будет меньше 20. Если $k$ приближается к 2, то:

Однако, поскольку $k$ должно быть строго меньше 2, это означает, что $P$ будет всегда меньше 20. В заключение, мы доказали, что периметр треугольника меньше 20.