Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СР. Радиус окружности, вписанной в треугольник ВСР, равен 8, тангенс угла ВАС равен 4/3. найдите радиус вписанной окружности треугольника АВС.

Помогите, пожалуйста!!!!! подробное решение, если можно!!!!!!!!!!!!

Решение задачи можно разбить на несколько шагов. Рассмотрим все подробно:

1. Обозначения и базовая информация

• Треугольник $\triangle ABC$ прямоугольный с прямым углом в $C$.
• $CP$ — высота, проведенная из вершины $C$.
• Радиус окружности, вписанной в треугольник $\triangle BCP$, равен $r_1 = 8$.
• Тангенс угла $\angle BAC$ равен $\tan \angle BAC = \frac{4}{3}$.
• Нужно найти радиус $r$ окружности, вписанной в $\triangle ABC$.

2. Выразим стороны треугольника

Тангенс угла $\angle BAC$ даёт соотношение сторон:

Пусть $BC = 4k$ и $AC = 3k$, где $k > 0$ — положительный множитель.

По теореме Пифагора для $\triangle ABC$:

Итак, стороны треугольника:

3. Свойства треугольника $\triangle BCP$

Высота $CP$, проведённая к гипотенузе $AB$, разбивает $\triangle ABC$ на два треугольника: $\triangle BCP$ и $\triangle ACP$. Заметим, что $\triangle BCP$ тоже прямоугольный.

Радиус вписанной окружности $r_1$ для $\triangle BCP$ равен $8$. Формула радиуса вписанной окружности треугольника:

где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

4. Площадь и полупериметр $\triangle BCP$

Пусть $BP = x$ и $CP = h$. Тогда:

• $BC = 4k$ — известная сторона.
• Площадь $S_{BCP} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CP = \frac{1}{2} \cdot 4k \cdot h = 2kh$.

Полупериметр $p_{BCP}$ равен:

Используя формулу радиуса $r_1 = 8$:

Упростим:

5. Радиус вписанной окружности треугольника $\triangle ABC$

Теперь вернёмся к $\triangle ABC$. Площадь: