На стороне АД параллелограмма АВСД взята точка К, так что АВ = АК. 
Докажите, что ВК – биссектриса угла АВС. 
Найдите периметр параллелограмма АВСД, если АВ = 12 см, КД = 7 см.

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства параллелограмма и свойства биссектрисы угла.

1. Доказательство того, что ВК – биссектриса угла АВС:

   Поскольку АВ = АК (по условию задачи) и АВ = ВС (так как ABCD - параллелограмм), то треугольник АВК является равнобедренным с основанием ВК. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой. Таким образом, отрезок ВК в треугольнике АВК является биссектрисой угла АВК.

   Угол АВК совпадает с углом АВС, так как они оба образованы сторонами АВ и ВК. Следовательно, ВК является биссектрисой угла АВС.

2. Нахождение периметра параллелограмма АВСД:

   Для нахождения периметра нам нужно знать длины всех сторон параллелограмма. Мы знаем, что АВ = 12 см. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны, ВС тоже равна 12 см.

   Чтобы найти длину стороны АД, рассмотрим треугольник АКД. Он является прямоугольным, так как диагональ параллелограмма делит его угол пополам, а одна из сторон параллелограмма служит высотой к основанию. Зная длину гипотенузы АК (которая равна АВ и составляет 12 см) и одного из катетов КД (7 см), мы можем найти другой катет АД по теореме Пифагора:

   АД² = АК² - КД² = 12² - 7² = 144 - 49 = 95.

   АД = √95 см.

   Поскольку АД = СВ в параллелограмме, мы можем теперь вычислить периметр:

   Периметр = 2 * (АВ + АД) = 2 * (12 + √95) см.

   Вычислим точное значение периметра.

Периметр параллелограмма АВСД составляет примерно 43.49 см. ​​