Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Доказать, что AC₁ перпендикулярно BD.

Пусть ребро куба равно $a$. Введём декартовы координаты

• $A\,(0,0,0)$

• $B\,(a,0,0)$

• $C\,(a,a,0)$

• $D\,(0,a,0)$

• $A_{1}\,(0,0,a)$

• $B_{1}\,(a,0,a)$

• $C_{1}\,(a,a,a)$

• $D_{1}\,(0,a,a)$.

Векторы, соответствующие данным отрезкам

• $\overrightarrow{AC_{1}}=(a,a,a)$;

• $\overrightarrow{BD}=D-B=(0,a,0)-(a,0,0)=(-a,a,0)$.

Скалярное произведение

Вывод

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они образуют прямой угол.
Поскольку

диагональ $AC_{1}$ куба перпендикулярна диагонали $BD$ его нижней грани.