К окружности с центром в точке O проведены
касательная AB и секущая AO . Найдите радиус
окружности, если AB = 20 , AO = 29

Для решения этой задачи используем свойство касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. Данное свойство гласит: квадрат длины касательной, проведенной из внешней точки к окружности, равен произведению всей длины секущей и ее внешней части.

Запишем условие задачи:

• К окружности с центром в точке $O$ проведены касательная $AB$ и секущая $AO$.
• Длина касательной $AB = 20$.
• Длина секущей $AO = 29$.
• Требуется найти радиус окружности $R$.

Решение:

Пусть точка $T$ — это точка касания касательной $AB$ с окружностью. Тогда отрезок $AT$ — это длина касательной, и $AT = AB = 20$.

Свойство касательной и секущей гласит:

Подставим известные значения:

Найдем $AT$:

Теперь найдем радиус $R$ окружности. Так как точка $T$ — это точка касания касательной с окружностью, а $O$ — центр окружности, то отрезок $OT$ равен радиусу $R$. Треугольник $AOT$ является прямоугольным (угол при точке $T$ равен $90^\circ$), так как касательная $AT$ перпендикулярна радиусу $OT$, проведенному в точку касания.

Используем теорему Пифагора для треугольника $AOT$:

Найдем $\left(\frac{400}{29}\right)^2$:

Подставим в уравнение:

Умножим все уравнение на $841$ для упрощения:

Теперь найдем $841 \cdot R^2$:

Поделим обе части на $841$:

Найдем $R$:

Ответ:

Радиус окружности $R$ приблизительно равен 25.5.