Докажите, что если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота, проведённая к основанию, равна средней линии.

Для доказательства того, что в равнобедренной трапеции, в которой диагонали перпендикулярны, высота, проведённая к основанию, равна средней линии, рассмотрим следующую ситуацию.

1. Обозначим элементы трапеции:
   Пусть трапеция $ABCD$ является равнобедренной, где основания $AB$ и $CD$ имеют разные длины, а боковые стороны $AD$ и $BC$ равны. Пусть $h$ — это высота трапеции, проведённая к основанию $AB$, и $m$ — это длина средней линии трапеции.

2. Свойства равнобедренной трапеции:
   В равнобедренной трапеции боковые стороны $AD$ и $BC$ равны, и диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются под прямым углом, то есть угол между ними $90^\circ$.

3. Средняя линия трапеции:
   Средняя линия трапеции $m$ — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон $AD$ и $BC$. Средняя линия трапеции по определению равна полусумме длин оснований:

   $$m = \frac{AB + CD}{2}$$

4. Доказательство:
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, средней линией $m$ и отрезком, соединяющим середины диагоналей. В этом треугольнике, согласно геометрии, высота $h$ равна средней линии $m$. Это следует из того, что перпендикулярность диагоналей делит трапецию на два симметричных прямоугольных треугольника, и в этих треугольниках высота, проведённая к основанию, совпадает с длиной средней линии.

Таким образом, если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то высота, проведённая к основанию, действительно равна средней линии.