Найди площадь фигуры, ограниченной параболами y = x² и y = (x - 6)², и осью Ox.

Ответы на вопрос

Отвечает Чубара Діана.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболами $y = x^2$ , $y = (x - 6)^2$ и осью $Ox$ , нужно выполнить несколько шагов.

Чтобы найти точки пересечения парабол, приравняем их уравнения:

x^2 = (x - 6)^2

Раскроем скобки и упростим:

x^2 = x^2 - 12x + 36

Убираем $x^2$ с обеих сторон:

0 = -12x + 36

Решим это уравнение:

12x = 36

x = 3

Таким образом, параболы пересекаются в точке $x = 3$ . Это означает, что одна парабола пересекает другую на оси $x$ в точке $x = 3$ .

Мы будем интегрировать от 0 до 3, так как фигура ограничена параболами и осью $Ox$ в этом промежутке.

Площадь между кривыми можно найти через интеграл разности функций, то есть:

S = \int_0^3 \left[ (x - 6)^2 - x^2 \right] \, dx

Раскроем квадрат и упростим выражение под интегралом:

S = \int_0^3 \left[ (x^2 - 12x + 36) - x^2 \right] \, dx

S = \int_0^3 \left( -12x + 36 \right) \, dx

Теперь интегрируем:

S = \left[ -6x^2 + 36x \right]_0^3

Подставим пределы:

S = \left( -6 \cdot 3^2 + 36 \cdot 3 \right) - \left( -6 \cdot 0^2 + 36 \cdot 0 \right)

S = \left( -6 \cdot 9 + 36 \cdot 3 \right) - 0

S = \left( -54 + 108 \right) = 54

Площадь фигуры, ограниченной параболами $y = x^2$ , $y = (x - 6)^2$ и осью $Ox$ , равна 54 единицам площади.

Ответы на вопрос