В конус, основание которого есть правильный треугольник со стороной $ a $, вписан шар. Найти

Ответы на вопрос

Отвечает Омельчук Юлия.

Для того чтобы найти отношение объема шара к объему конуса, начнем с вычисления объемов обеих фигур.

1. Объем конуса

Объем конуса вычисляется по формуле:

V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h

где $r$ — радиус основания конуса, а $h$ — высота конуса.

Основание конуса — правильный треугольник со стороной $a$ . Чтобы найти радиус описанной окружности этого треугольника, можно использовать формулу для радиуса описанной окружности правильного треугольника:

r = \frac{a}{\sqrt{3}}

Теперь нужно найти высоту конуса. Высота конуса будет равна расстоянию от вершины конуса до центра основания. Для этого сначала вычислим высоту правильного треугольника. Высота правильного треугольника со стороной $a$ равна:

h_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{2} a

Так как в конусе вершина находится над центром основания, высота конуса будет равна $h_{\text{треугольника}}$ , т.е. $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ .

Таким образом, объем конуса можно записать как:

V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\pi a^3}{18 \sqrt{3}}

2. Объем шара

Шар вписан в конус, значит его диаметр равен высоте конуса. Таким образом, радиус шара $R$ будет равен половине высоты конуса:

R = \frac{h}{2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} a

Объем шара вычисляется по формуле:

V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi R^3

Подставляем $R = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ :

V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{\sqrt{3}}{4} a \right)^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{3\sqrt{3}}{64} a^3 = \frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{16}

3. Отношение объемов

Теперь найдем отношение объема шара к объему конуса:

\frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{конуса}}} = \frac{\frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{16}}{\frac{\pi a^3}{18 \sqrt{3}}} = \frac{18 \sqrt{3}}{16} = \frac{9}{8}

В конус, основание которого есть правильный треугольник со стороной \( a \), вписан шар. Найти отношение объёма шара к объёму конуса.

Ответы на вопрос

1. Объем конуса

2. Объем шара

3. Отношение объемов

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия