В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 6 см, угол между боковым ребром и плоскостью основания 60 градусов. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды, сначала необходимо найти её высоту.

1. Геометрия правильной треугольной пирамиды:

   • В правильной треугольной пирамиде основание — равносторонний треугольник.

   • Боковые ребра равны между собой, и угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 60 градусов.

2. Обозначения:

   • Пусть длина бокового ребра равна $a = 6$ см.

   • Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $60^\circ$.

   • Высоту пирамиды будем обозначать через $h$.

3. Нахождение высоты пирамиды:
   Чтобы найти высоту пирамиды, рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром и проекцией этого бокового ребра на плоскость основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между боковым ребром и высотой пирамиды, который равен $60^\circ$.

   Проекция бокового ребра на плоскость основания будет являться катетом прямоугольного треугольника, где гипотенуза — это боковое ребро пирамиды. С учетом угла в 60 градусов, можно записать следующее соотношение для высоты пирамиды:

   $$h = a \cdot \cos(60^\circ)$$

   Подставим значения:

   $$h = 6 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см}.$$

4. Площадь основания:
   Основание пирамиды — равносторонний треугольник, в котором длина стороны равна 6 см. Площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

   $$S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2$$

   Подставляем значение $a = 6$:

   $$S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2.$$

5. Объем пирамиды:
   Объем правильной пирамиды можно вычислить по формуле:

   $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h$$

   Подставляем найденные значения площади основания и высоты:

   $$V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3} \text{ см}^3.$$

Таким образом, объем пирамиды равен $9\sqrt{3}$ кубических сантиметров.