В правильной треугольной пирамиде боковое ребро с плоскостью основания образует угол 45°. Высота пирамиды равна 14 см. Вычисли сторону основания пирамиды.

Для того чтобы найти сторону основания правильной треугольной пирамиды, нам нужно использовать информацию о высоте пирамиды и угле между боковым ребром и плоскостью основания. Рассмотрим задачу шаг за шагом.

1. Обозначим известные и неизвестные величины:

• Обозначим сторону основания правильной треугольной пирамиды через $a$.
• Высота пирамиды — это расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания, и она равна 14 см.
• Боковое ребро пирамиды обозначим через $l$.
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°.

2. Геометрия правильной треугольной пирамиды:

• Основание пирамиды — правильный треугольник. Все его стороны равны $a$, и все углы в этом треугольнике равны 60°.
• Высота пирамиды $h = 14 \, \text{см}$ опущена из вершины на центр основания, который является центром тяжести правильного треугольника.

3. Угол между боковым ребром и плоскостью основания:

Из условия задачи известно, что угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°. Этот угол можно рассматривать как угол между боковым ребром и высотой пирамиды.

Проекция бокового ребра на плоскость основания:

Мы знаем, что высота из вершины пирамиды перпендикулярна плоскости основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором:

• одна из катетов — это высота пирамиды $h = 14 \, \text{см}$,
• другой катет — это расстояние от центра основания до середины одной из сторон основания треугольника. Это расстояние равно $\frac{a\sqrt{3}}{6}$, так как для правильного треугольника с длиной стороны $a$ центроид (центр тяжести) находится на расстоянии $\frac{a\sqrt{3}}{6}$ от каждой из сторон.

Треугольник с боковым ребром:

У нас есть прямоугольный треугольник, в котором:

• один катет — это высота пирамиды $h = 14 \, \text{см}$,
• второй катет — это расстояние от центра основания до точки на боковом ребре, которое перпендикулярно плоскости основания.

Поскольку угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 45°, то мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения бокового ребра.

4. Решение:

Сначала используем следующее соотношение из теории треугольников с углом 45°:

Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

Отсюда:

Теперь мы знаем, что боковое ребро $l = 7\sqrt{2}$ см. Далее используем геометрические соотношения для нахождения стороны основания. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро, высота и полусторона основания образуют прямоугольный треугольник. Полусторона основания равна $\frac{a\sqrt{3}}{6}$, и используя теорему Пифагора, можем выразить сторону основания $a$:

Подставляем известные значения:

Умножим обе части уравнения на 36, чтобы избавиться от знаменателя:

Теперь решим это уравнение для $a^2$: