В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 8 см и образует с плоскостью основания угол 30 градусов.Найдите объём и боковую поверхность пирамиды (легче если в письменном виде будет)

Решение

1. Понимание задачи и анализ геометрии пирамиды

Пусть у нас есть правильная треугольная пирамида:

• Боковое ребро равно $8$ см.
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $30^\circ$.

Основой пирамиды является правильный треугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности основания.

Обозначения:

• Высота пирамиды $h$ — это перпендикуляр от вершины до плоскости основания.
• Сторона основания треугольника $a$.
• Апофема боковой грани $l_{\text{апофема}}$.

2. Нахождение высоты пирамиды ($h$)

Высота пирамиды связана с боковым ребром ($8$ см) и углом $30^\circ$:

3. Нахождение радиуса вписанной окружности основания ($r_{\text{вписанная}}$)

Поскольку вершина проецируется в центр вписанной окружности, радиус вписанной окружности ($r_{\text{вписанная}}$) связан с высотой $h$ и углом $30^\circ$ как:

4. Нахождение стороны основания ($a$)

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник выражается через сторону основания $a$ как:

Подставляем значение $r_{\text{вписанная}} = 4\sqrt{3}$:

Умножим обе части на $6$:

5. Нахождение площади основания ($S_{\text{основания}}$)

Площадь правильного треугольника выражается формулой:

Подставляем $a = 24$:

6. Объём пирамиды ($V$)

Объём пирамиды выражается формулой:

Подставляем $S_{\text{основания}} = 144\sqrt{3}$ и $h = 4$:

7. Нахождение площади боковой поверхности ($S_{\text{боковая}}$)

Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из трёх равных треугольников. Площадь каждого треугольника: