Образующая конуса L направлена к плоскости основания под углом 30 градусов. Найти высоту конуса и площадь осевого сечения.

Чтобы найти высоту конуса и площадь осевого сечения, нужно немного разобраться с геометрией конуса.

1. Вычисление высоты конуса:

Образующая конуса $L$ направлена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Если представить осевое сечение конуса (плоскость, которая проходит через вершину конуса и его ось симметрии), то получим прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенуза — это образующая $L$, а один из катетов будет высотой $h$, которую мы ищем.

Так как угол между образующей и плоскостью основания $30^\circ$, можно использовать тригонометрические функции. В частности, для нахождения высоты $h$ воспользуемся синусом угла:

Из этого выражения:

Таким образом, высота конуса $h = \frac{L}{2}$.

2. Площадь осевого сечения:

Осевое сечение конуса — это треугольник, основание которого является диаметром основания конуса, а высотой — расстояние от вершины до центра основания, то есть высота конуса $h$.

Диаметр основания $D$ можно выразить через радиус основания $r$ следующим образом:

Площадь треугольника, который является осевым сечением конуса, можно вычислить по формуле для площади треугольника:

Подставляем $D = 2r$ и $h = \frac{L}{2}$:

Таким образом, площадь осевого сечения конуса $S = \frac{rL}{2}$.

Итак, мы получили, что:

• Высота конуса $h = \frac{L}{2}$,

• Площадь осевого сечения $S = \frac{rL}{2}$.