Образующая конуса равна 8 см, наклонена к плоскости основания под углом 30. найдите площадь осевого сечения конуса

Чтобы найти площадь осевого сечения конуса, нужно сначала разобраться с геометрией задачи.

Шаг 1. Определим параметры конуса

• Образующая конуса — это отрезок, который соединяет вершину конуса с точкой на окружности его основания. В данном случае образующая равна 8 см.
• Угол наклона образующей к плоскости основания — 30°. Это значит, что образующая составляет угол 30° с вертикалью, которая перпендикулярна плоскости основания.

Шаг 2. Найдем радиус основания

Чтобы найти радиус основания конуса, используем тригонометрию. Радиус основания $r$ можно найти, зная угол наклона и длину образующей:

Из треугольника, в котором гипотенуза — это образующая, мы можем выразить радиус через синус угла наклона. Проекция образующей на основание конуса будет равна:

Знаем, что $\sin(30^\circ) = 0.5$, тогда:

Шаг 3. Осевое сечение конуса

Осевое сечение конуса — это сечение, которое проходит через ось симметрии конуса. Оно имеет форму равнобедренного треугольника, где:

• одна из сторон треугольника — это образующая конуса (8 см),
• вторая сторона тоже образующая (8 см),
• основание треугольника — это диаметр основания конуса, который равен $2r = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Шаг 4. Площадь осевого сечения

Площадь треугольника можно найти по формуле:

• Основание треугольника — это диаметр основания конуса, то есть 8 см.
• Высота треугольника — это расстояние от вершины конуса до основания. Это можно найти, используя косинус угла наклона образующей:

Зная, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$, получаем:

Теперь можно вычислить площадь осевого сечения:

Ответ:

Площадь осевого сечения конуса примерно равна 27.7 см².